函數y=(4x+1)^2(x+11)的主要性質(zhì)及其圖像

主要內容：

通過(guò)函數的定義域、值域、單調性、凸凹性及極限的性質(zhì)，并通過(guò)函數導數知識求解函數的單調區間和凸凹區間，并簡(jiǎn)要畫(huà)出函數y=(4x+1)^2(x+11)示意圖的過(guò)程與步驟。

※.函數定義域

根據函y=(4x+1)^2(x+11)特征，可知函數自變量x可以取全體實(shí)數，即函數的定義域為：（-∞，+∞）。

※.函數一階導數：

本處通過(guò)導數工具來(lái)解析函數的單調性，過(guò)程如下：

∵y=(4x+1)^2(x+11)，

∴y=8(4x+1)(x+11)+(4x+1)^2，

=(4x+1)[8(x+11)+(4x+1)]

=(4x+1)(12x+89)

令y=0，有4x+1=0，12x+89=0，即：

x1=-4/4≈-0.3，x2=-89/12≈-7.4.

(1).當x∈(-∞，-7.4)，(-0.3,+∞)時(shí)，

dy/dx>0,此時(shí)函數為增函數。

(2).當x∈[-7.4，-0.3]時(shí)，

dy/dx<0,此時(shí)函數為減函數。

※.函數的凸凹性

∵y=(4x+1)(12x+89)

∴y=4(12x+89)+12(4x+1)

=16(6x+23).

令y=0，則6x+23=0，即：

x=-23/6≈-3.8.

此時(shí)函數的凸凹性性及凸凹區間為：

(1)當x∈(-∞, -3.8)時(shí)，y<0,此時(shí)函數y為凸函數。

(2)當x∈[-3.8,+∞) 時(shí)，y>0,此時(shí)函數y為凹函數。

※.函數的部分點(diǎn)圖

※.函數的圖像示意圖